 Сначала алгебра была разделом математики, который касался правил операций над числами и решения уравнений, а затем стала теорией операций, а затем свойствами математических существ в целом.
В этом разделе делается попытка проследить долгий эпос дисциплины, которая началась более 4000 лет назад, во времена вавилонской цивилизации и продолжает развиваться сегодня...
Инициаторы алгебры:
- вавилоняне и египтяне
- китайцы
- греки
- индийцы
Рождение алгебры в арабо-мусульманском мире:
- аль-Хорезми и аль-Джабр
- Абу Камиль
- Арифметические алгебраисты
- Алгебраические геометры
Алгебра в западном мире:
- В Италии
- К символизму
- Современная эволюция
Создатели алгебры
За две тысячи лет до нашей эры вавилоняне и египтяне умели риторически решать конкретные задачи первой и второй степени, неявно используя свойства операций без какой-либо символической записи. У египтян, однако, есть некоторые символы, например, обозначающие сложение (пара ног, идущих влево, направление письма) и вычитание (пара ног, идущих вправо).
Вавилонские калькуляторы обозначают неизвестное «стороной», а степень двойки называется «квадратом».
Чуть более 2000 лет назад китайцы знали методы решения линейных систем, близкие к нашему методу линейных комбинаций. Они также использовали метод ложного положения.
У греков числа тесно связаны с геометрическими понятиями, поэтому новых методов вычисления они не принесут. Они попытаются провести построения с линейкой и циркулем, чтобы представить решения, которые обязательно являются положительными рациональными числами.
Начало символизма в алгебре зародилось в «Арифметике» Диофанта Александрийского (3 век), который ввел некоторое количество сокращений. Однако рассуждения остаются написанными полностью. Его нотация называется синкопированной, что означает, что слова заменены аббревиатурами. Диофант использует алгебраические методы, не обращаясь к геометрии, и тем самым радикально выступает против прошлых методов греческих геометров.
В Индии у Арьябхаты Старшего (476; 550) мы находим в его «Арьябхатийа», написанной на санскрите в 510 г., конкретные задачи, которые соответствуют линейным уравнениям или системам уравнений первой степени.
Позже, в «Брахма-спхута-сиддханте» («Открытие Вселенной»), датируемой 628 г., Брахмагупта (598; 660) выражает решения квадратных уравнений.
Рождение алгебры в арабо-мусульманском мире
Развитие алгебры в арабо-мусульманском мире проходило в два этапа.
В VII и VIII веках математики унаследовали прошлые знания (греческие, индийские и т. д.) и вступили в длительный период переводов.
Затем с 9 века рождались новые произведения.
Аль-Хорезми и аль-Джабр:
Согласно историку Ахмеду Джеббару , официальное свидетельство о рождении алгебры как дисциплины принадлежит персидскому ученому Мухаммаду ибн Мусе аль-Хорезми (790; 850).
В первой работе он раскрывает десятичную систему и правила индийского исчисления. В «Китаб аль-джабр ва аль-мукабала» («Книга сложения и баланса»), написанной между 813 и 833 годами и посвященной халифу аль-Мамуму , аль-Хорезми закладывает основы алгебраических методов решения уравнений, а также синтез правила, унаследованные от греков и неоперсидских текстов.
Большая часть книги посвящена проблемам быта (раздел наследства, наследственные права, коммерческие обмены, межевание и др.)
Его алгебра остается риторической без всякого символизма даже для чисел. Он называет «дирхем» (денежная единица времени) простое число, «чай» (вещь) — неизвестное, а «мал» — квадрат неизвестного. Все коэффициенты положительны и все слагаемые складываются.
Его техника состоит в сведении всех уравнений к одному из шести канонических уравнений, для которых он знает, как найти решение:
1) ax 2 = bx
2) ax 2 = c
3) bx = c
4) ax 2 + bx = c
5) ax 2 + c = bx
6) bx + c = ax 2
Для этого используются методы разрешения:
- al jabr (опровержение, 4x - 3 = 5 становится 4x = 5 + 3). В уравнении принят отрицательный член, но аль-Хорезми стремится избавиться от него как можно скорее. Для этого он добавляет свою противоположность к обеим частям уравнения.
Слово «аль-джабр» повторно используется во многих более поздних учебниках и станет в Европе словом «алгебра».
- al muqabala (сокращение, 4x = 9 + 3x становится x = 9)
Подобные термины сокращаются.
- аль-хат (2x = 8 становится x = 4)
Деление каждого члена на одно и то же число.
Аль-Хорезми можно считать основателем настоящей теории решения квадратных уравнений.
Он также предлагает некоторые проблемы наследования, приводящие к системам уравнений, которые он сводит для их решения к линейному уравнению.
Абу Камиль:
Шуджа Абу Камил (850; 930) расширяет работу аль-Хорезми по квадратным уравнениям в "al Kitab al kamil fi l-jabr wa l-muqabala" ("Полная книга по алгебре").
Его вторая книга «Кита бат-тара'иф л-хисаб» («Книга редких вещей в исчислении») целиком посвящена системам уравнений.
Абу Камиль обладает более высокой степенью абстракции, чем его предшественник.
Позже Сабит ибн Курра (836; 901) первым четко разграничит алгебраический и геометрический методы и докажет, что оба они приводят к одному и тому же решению.
Тогда необходимо будет различать два течения в арабском мире:
- арифметические алгебраисты , которые видят, что арифметика служит алгебре посредством мощных численных алгоритмов, помогающих решать уравнения. Абу Бакр аль-Караджи (953; 1029) в своем трактате «аль-Китаб аль-фахри фи л-джабр ва л-мукабала» («Фахри в алгебре») станет действующим лицом и будет продвигать методы под влиянием методов алгебры « Арифметика» Диофанта . Его методы алгебраических вычислений неизвестного и его различных степеней породили теорию многочленов.
По этому поводу аль Караджи выставляет треугольник для определения бинома (a+b) n.
- алгебраические геометры продвигают алгебру через геометрию, изучая определенные геометрические конструкции для представления корней уравнений. Мухаммеда аль Махани (820; 880) интересует проблема Архимеда Сиракузского (-287; -212), изложенная в трактате «О сфере и цилиндре» (предложение 4 книги II). Эта задача состоит в изучении пересечения сферы плоскостью. Он будет вынужден решать с помощью радикалов уравнение 3-й степени типа x 3 + r = px 2 , чего еще не пытались делать арифметические алгебраисты. Однако его поиски будут тщетны.
Другие математики десятого века, такие как Абу Джафар аль-Хазин (900; 971) и аль-Хасан ибн аль-Хайтам (965; 1040), более известный в Европе как Альхазен , подняли проблемы древности , такие как удвоение куба, трисекция угла или некоторых конструкций многоугольников, приводящих к уравнениям 3-й степени.
Позднее математик и поэт Омар Хайям (1048; 1123) написал трактат о кубических уравнениях «Китаб а л-джабр ва л-мукабала» («Книга алгебры»). Он отделяет алгебру от арифметики и использует радикалы для решения уравнений. Используя численные или геометрические методы, Омар Хайям изучает уравнения в риторической форме, но в общих случаях: коэффициенты — любые положительные числа. Он замечает, что уравнения 3-й степени имеют два различных положительных корня, но упускает из виду третий.
«Поскольку вы не знаете, что вас ждет завтра, постарайтесь быть счастливым сегодня. Возьми кувшин с вином, иди и сядь при лунном свете, и пей, говоря себе, что завтра луна может напрасно искать тебя. Отрывок из Робайят, Омар Хайям.
В 1170 г. в «Уравнениях» Шараф ад-Дин ал-Туси (1135; 1213) берется за работу двух течений. Он проходит через обсуждения существования положительных корней, изучая кривые и давая приближенные численные решения. Его подход локальный и аналитический. Эта концепция будет продолжена Джемшидом Аль-Каши (1380; 1430) в его «Договоре о шнуре и синусе». Это приведет к тому, чтобы дать приближенное значение уравнения типа x 3 + q = px для изучения проблемы трисекции угла.
С начала 15 века математические исследования в арабском мире пришли в упадок и распространились в Европу через мусульманскую Испанию.
Алгебра на Западе
К слову, из Западной Европы математика пришла со своими особенностями и в Россию, где она прижилась и получила современное развитие. Сегодня, практически в любой школе найдутся дети, желающие углубленно знать законы математики и в этом нередко помогает им репетитор по математике краснодар к примеру славится своими талантами.
В Италии:
В 15-м и 16-м веках алгебра получила развитие благодаря методам разрешения уравнений 3-й и 4-й степени и появлению комплексных чисел. Начинают появляться первые переводы арабских трактатов, таких как «Книга алгебры» аль-Хорезми или «Полная книга» Абу Камиля.
Италия добилась определенного прогресса в реализации копий арабских произведений. Объясняется это конституцией большого класса купцов, нуждающихся в расчетных пособиях.
В своей «Liber Abaci» итальянец Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи (1170; 1250), раскрывает элементы алгебры прошлого, которые он обогащает новыми задачами и новыми методами.
В 1494 г. в «Сумме арифметики, геометрии, пропорций и пропорций» Лука Пачоли (1445; 1517) дает общее решение уравнений первой степени без экспоненциальной записи, но с многочисленными сокращениями. Например, он использует буквы p и m для обозначения сложения и вычитания соответственно.
Во время испытания итальянец Никколо Фонтана дит Тарталья (1499; 1557) находит общее решение уравнений вида x 3 + px = q. Сначала он не хотел раскрывать свою формулу, пока Джероламо Кардано (1501; 1576), с французским именем Жером Кардан, не вырвал ее у него. Именно последний в «Практике арифметики» допускает отрицательные решения уравнений с числовыми коэффициентами и манипулирует квадратными корнями отрицательных чисел. В 1545 году в «Ars magne» Кардан предложил метод решения уравнений четвертой степени.
Рафаэль Бомбелли (1526; 1572) был первым, кто распространил проблемы Диофанта в западном мире. Как и Кардан, он изучает уравнения степеней больше 2 и рассматривает отрицательные корни.
К символизму:
В 1484 году Николя Шюке (1445; 1500) написал замечательный труд по алгебре «Трипартия в науке о числах», но его труд не был опубликован и мало понят современниками. Шюке решает системы уравнений первой степени, умело использует отрицательные числа вплоть до отрицательных степеней и вводит экспоненциальные обозначения. Например, для 12x 3 он отмечает 12 3.
В 1544 году немецкий монах Михаэль Штифель (1486; 1567) отметил неизвестное своего рода r и работал с отрицательными числами, которые он назвал абсурдными числами.
С французом Франсуа Виете (1540; 1603) алгебра приняла новый оборот. Он проектирует написание выражений с несколькими неизвестными и с буквенными коэффициентами. Что позволяет привести методы разрешения в общих случаях. Он сохраняет геометрическую концепцию, поскольку буквы представляют собой геометрические размеры, но он не колеблясь выходит за пределы измерения 3, что удивляет Стифеля, который квалифицирует свое видение как «неестественное». Виета можно считать создателем современного математического символизма.
У Рене Декарта (1596; 1650) алгебра выходит из своей синкопированной формы и становится совершенно самостоятельной ветвью математики. Именно он вводит современные обозначения, известные нам в алгебре, такие, например, как показатель степени для степеней.
Он предлагает использовать первые буквы алфавита для известных величин и последние для неизвестных. Даже сегодня параметры обычно обозначаются a, b или c, а переменные — x, y или z. Благодаря хорошему символизму Декарт развивает «механический» аспект алгебраического исчисления, который, по его мнению, позволяет упростить мышление.
Используя свои недавние открытия в области аналитической геометрии, Декарт решает уравнения 3-й и 4-й степени посредством построения кривых.
В конце XVII века в запись уравнений входит символ =. Этот символ был введен в 1557 году в «Точилке Витте» англичанином Робертом Рекордом (1510; 1558): «Нет ничего более похожего, чем две линии-близнеца.»
Эволюция модерн:
В 18 веке прогресс в алгебре стал реже благодаря усилиям, направленным на исчисление бесконечно малых и развитие анализа.
Однако Александр Ван дер Монд (1735; 1796) работает над решением уравнений высших степеней. А Жозеф Лагранж (1736; 1813), а затем Нильс Абель (1802; 1829) задались целью продемонстрировать невозможность решения уравнений 5-й степени с радикалами.
Швейцарец Габриэль Крамер (1704; 1753) провел первое комплексное исследование систем уравнений.
В 19 веке в алгебре появится детерминант, а затем матричные вычисления и другие математики, такие как Эварист Галуа , откроют двери современной алгебры… но это уже другая тема…
|
